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オンライン数学塾をやっています。学校の補習から受験指導まで責任を持って指導します。進学塾に通っていても成績が伸びない方、志望校対策をしたい方、学校の成績を伸ばしたい方、先取り学習をす進めていきたい方がオススメです。過去には、進学塾（早稲田アカデミー、Z会進学教室、Z会東大進学教室いずれもトップクラス担当）や学校での指導経験（教員免許持ち）があります。気になる方はこちらをクリックしてください。無料体験、無料カウンセリングやってます。sites.google.com/view/kawabatateppei
6:19 小数近似する方法の場合、"途中で桁を打ち切っている（=真の値よりも小さく見積もっている）"というのをわかった上でやる必要がありますね。この問題は結果的に近似値が7を超えたので問題になってませんが、もしこの近似計算の結果が6.99...みたいになったときにそれをみて答えが6だ！って飛びつくと実は間違ってましたなんてこともあり得ます。それでもう一桁増やして再計算…とかやるリスク背負うくらいなら、個人的には+30秒かかってもいいので二乗したうえで24
とても難しく感じましたが、先生のご説明で理解できました。今日もありがとうございました。
3
これが一番スッキリしますね
動画のやり方が1番だろ笑
灘と言えば未来のラマヌジャンでも探してるのかってくらい計算ゴリッゴリな入試というイメージなので初めから小数第2位まで近似してみたらかなりギリッギリの値が出て戦慄した
選抜を目的に問題作ってない可能性
中学は全くそんな事ないんだがなその代わり閃かなきゃ即死みたいなの多いけど
そうですね。我校の先生を言っていましたが良問ができたと私達にほざいていたのを思い出します（笑）by灘高80回生
@@kuq-f1dさん灘高等学校の数学の入試問題は骨のある良問ですね
大学的にはルートxは凹関数なので16から1減るより、9から1増えるのが勝ちます。グラフを書いてすぐわかれば賢い。
この発想をできる子を採りたい。
こういう感覚を見る問題でしょうね！
なるほど、グラフでは、ｙの方から見て、1，2，3，4，・・・と、1ずつ増えるのに対して、対応するXは、1，4，9，16というふうに幅が広がっていくから、傾きがなだらかになっていく。ということは、ｘが1だけ動いた時のｙの変化量が少なくなっていくから、このての場合の差は常にプラスになる。よって、3＋4＋正の数、というわけですね。と、少し頭の良い中学生なら理解できそうです。
凹関数ではなく凸関数ですね
これを数学的に記述できんのかな
この問題絶妙すぎます。近似値でやったら少数点1桁だと6、2桁だと7になります。さすが灘高校と言わざる得ません。
灘高受けるような人らはこの辺想定済みなんだろうな
近似でやるより2乗で挟む方が確実だし速いです灘の過去問をちゃんと解いている人は、こういう類の問題を近似で解くことが面倒くさくて裏切られがちなのをよく理解しています
与式をa,b=√15-√10とするとa^2+b^2=50。bは1以下なのでa^2>49で評価できますね。大学受験で見かけるパターンですが・・・
微妙なところを突いてくるのがイヤラシイですがこれでも灘的には易問なんでしょうね
比較的簡単。灘の問題の中でも最易レベルの問題だと思います。
易しい
灘の酒
飲みたい‼️@@user-godofworld
近似値でアタリをつける方法で危ないのは、動画通り小数点以下２位まで計算すれば7を超えるが、手抜きして小数点以下１位で計算すると７に届かない点。高校入試でそんなピンポイントで手を抜くやつはいないだろうけども……
電卓でやったら7.03526だったので危ういね
前半の方法で解きました。もし自分が現役中学生で答えだけを求めるので良ければ後半の方法で解いてたかなと思います。
答えを出すだけなら、y=x^2のグラフを描けば、xがおおきいほどyとy+1の範囲におけるxの値の範囲が小さくなるのが分かるので、それでいける。
本番で精密じゃないグラフ描いて「こっちの方が大きい気がする」で答えを出すだけの人は求めてないんじゃないかなぁ、それじゃいけないよ
@@もんちゃん-d3vいいえ
動画前半通り2乗で考えました。3
丁寧に整数部分をaと置いてa≦√15+√10
だいたい、7.前後で√15+√10>7が正しいかを検証する。式変形して√10-√9>√16-√15の検証と同じ。√xはxの増加とともに増大幅が減少するのは明らかなので、√10-√9>√16-√15は成立する。よって√15+√10>7は成立して、答えは7。
無理関数(二次関数の逆関数)の形を知っていたので(実質)同じ解法を思いつきました。多分作問者の発想もそこから来てるのかと。
さすが灘高校ですね。面白いっていうか、少し毛色の変わった問題です。でも難しいです、あとの解き方しか分からなかったです。
渋幕でも出てるけどなw
2乗すればルート部分が1つになるのがポイントです。慣れれば見た瞬間2乗したくなる。
答え出すだけなら、y=√xが単調増加で、xの値を大きくすれば傾きが緩やかになるってこと理解して、√15と4(=√16)の差の大きさをaとでも置いてやれば、aと同様にbを用意して√10=3+a+bと理解できるから、√15=4-aと足してやって、和が7+bで一瞬でわかるね
解説ありがとうございました。「なあ～んだ・こうやるのか～」という感じでした、感謝です。🎶
これが1問目か！しびれるぜ
2乗を評価してあげたくなる問題ですね
√15+√10=7+aとおいて平方し、近似的に2次の項を消すと 25+10√6=49+14a となり 整理すると 14a = 10√6 - 24 =2 √6 (5- 2 √6 )となるのでこの右辺の( )内の符号を調べれば良い。すると これが正とわかるので7より大きい
まず前提として、①√xと√(x+1)の差は、xが大きいほど小さくなるさらに√10, √15 ともに整数部分3の小数で、その和の整数部分は6または7のいずれかここで √10 - √9 = a, √16 - √15 = bと置くと、①より a > b なので √10 + √15 = √9 + √16 + a - b = 7 + a - b > 7よって整数部分は7追記：出題される√の値によっては使えない方法ですが、高校入試ということ、あえて10と15という値を選んでいることを考えると、出題者自信が「これに気付けばほぼ一瞬で解答できるんだけど、気づいてくれるかな～」という思いで作問している気がしますね。
座標平面のy=√xのグラフを考えて、➚➙みたいなグラフになるから、√15よりも√10のが0に近くて増加量も多いから、感覚的に|3-√10| > |4-√15|になって、√10-3 > 4-√15、√10+√15>7が導けました
私も同じ方法。出題者はこの解法が一番のお気に入りじゃないですか？数式でなく直観力で解く。
近似値（≒）として扱うのではなく「より大きい（＞）」として扱うのであれば小数点以下2桁まで計算すれば間違いなく７より大きくなる（整数部は７）と言い切れるのではないですかね？
今年灘高受験したものです。6か7かで迷い脳死で計算したら7になりました。今思うと普通に二乗すれば良いのに入試では出来ないのが怖いですね。
高校生になっても灘高等学校の入試問題は為になりますし、高等学校数学の知識にもなりますので勉強になります
√6の値を計算するのに√2×√3を実行するこの時1.4×1.7だと2.38になり、1.41×1.73だと2.4393になる。√10+√15を二乗すると25+10√6になるけどこれが49を超えるか超えないかは省略の仕方で変わってくるのがいやらしい。やはり出題者の意図は√9〜√10と√15〜√16の間隔が狭くなってゆくのを直感出来る頭脳が欲しい、ということかもしれませんね。
与式を二乗して...しかないとは思うけど、二乗してもルートの中が、でなんともいえない問題ですねぇ。指導要領の範囲の中で、灘の受験生を差別化するための問題を作らなければいけない灘の先生方のご苦労が。以下、余談私の元上司が一部の問題を作った採用試験に合格して就職できた私なのですが、その上司が作った問題、作るように依頼した側から、｢あまりに正答率が低く、合否にまったく影響しなかったと思える(ほとんどの受験生が間違ったので、100点満点の試験が実質95点満点の試験になっちゃった)、こんな問題は今後、作らないで下さい｣とあとで言われたとか。
中学生の感覚では後者になるのかなと思います。とても分かりやすい解説でした
√3+√2がπにこんなに近いとは知りませんでした。√10をおおよそπとして扱うのはやった。
それは聞いたことがなかったです。みいろににななむと覚えていました。
後半のやり方でした。
4よより少し小さい数と、3より少し大きい数の足し算4より少し小さい部分をaとして3より少し大きい部分をbとすると、明らかにb>－aなので整数の部分は7になるこれは端数の数値を具体的に出さなくてもわかるので、すぐ解けると思いました
この問題、イヤらしいですね。ただこの問題に時間を割く理由に行かないと思いますので、二択になりますが。。と言うのが普通の中学生の考えで、灘高校受ける人は余裕なんでしょうね。面白い問題でした😂
答えが6か7のどちらか、、、まではすぐわかるんだけど、近似値で計算しても微妙だし、、、こういう問題作りだす灘の先生ってすごいね！受験生は大変だけど、個人的にはこういう問題大好きです
√3＝人並みにおごれや√5＝富士山麓にオウムなく🦜√10＝ひとまるは三色（みいろ）に並ぶあとは手首の運動アフォの解き方です。
黒板消しを使ってる！（斬新w）
4-√15と√10-3の大小関係はy=√xのグラフから明らかだけど、示すのは意外と難しいですね。√(a+1)-√aと√a-√(a-1)の大小関係は直接は面倒だけど、2aと√(a+1)＋√(a-1)の大小関係で両辺自乗でわかることから導き出せるので、あとはドミノ倒しで…うーん、中学範囲というのは厳しいな…
ホントにいい問題出すなぁ。数直線上に√9 √10 √11 √12 √13 √14 √15 √16と並べると、『間隔はだんだん広がっていく』のか『間隔はだんだん狭くなっていく』のか(√4-√1と√104-√101を思い浮かべると)狭くなっていくので√9と√10の差をa√15と√16の差をbとするとa>bよって√10+√15=√9+√16+a-bこれは7より大きい数になる。
ぱっと見で解法浮かばなかったら保留2乗するやり方は他の問題解いてる最中に思い浮かぶと思う。
√9〜√10より√15〜√16のほうが間隔が短いので、√10の3からはみ出した部分より√15が4に足りてない部分の方が小さいので足したら7をはみ出す
高校数学になっちゃうけど、y=√xのグラフが上に凸であることを用いると、感覚的に7を超えることは分かるかな。
待ってた！
こちらの動画は、なぜか楽しいです。この問題なんて、数学好きな人には、わくわくするんじゃないかと思いました。数学オンチの私でも、こちらの動画が、実に楽しく感じます。まさに数楽ですね。
49から25引いて2で割って12にして、150が12の2乗より大きいという確認作業が入る解き方の方が明確だと思う
次回は係数比較とかが使えますかね？手をつけていないのでパッと浮かびませんが...
y=√xのグラフを描いてだんだん傾きが小さくなることが分かれば、3と√10の差のほうが大きそうと判断できるけど、高校範囲ですね
2乗するところまでは思い付きましたが2×√10×√15のところで次どうするか詰まってしまいました。もう一回範囲推定すればよかったのですね
近似値でも不等号にすれば正解になるのではないでしょうか。√2＞1.413、√3＞1.731、√5＞2.235として計算しても7を越えますので。
いい問題だなぁ
入試とかでこんなの出たら、３.いくつ、3.いくつ、６か７なのできっとこっちだろうってとりあえず書いて、時間が余ったらそれが正解かを確認するとか、当時の私ならしそうだな
6か7ってわかるなら7を愚直に√5で割るのが早いと判断2.23で割ると√2+√3より小さくなるんで7以上とわかる掛け算にすると3桁の掛け算要求されるのは面倒ですね
√5でくくってから2乗する5(3+2√6+2)=25+10√6さらに24
確かに答えだけでいいのなら、2.236×3.14でいけますねꉂ🤣𐤔
数学って面白くて、大体の感覚で整数間をルートは等分してくれんのよ。1、1.4、1.7、22、2.2、2.4、2.6、2.8、3って感じ。3と4の間も0.15くらいで7等分されるんやけど、3と√10の差は√15と4の差より大きいんだな。グラフ的にもそうやし、現に√2と√3もそう。この感覚は大事。
√10くらいまでは理系なら覚えておいてほしいな √10＝3.1622 (色は三色(みいろ)に並ぶ)√15(=3.8729...)は動画と同じように√3x√5＝1.732...x2.236...で.ちょっと高級になるけど灘高受けるくらいの受験生なら ルートの近似式 √(1±x)≒1±x/2 (x: 小) も知っておくと便利．両辺2乗して比較してみれば近いことが分かる．使い方は √10＝√(9+1)＝√[3²(1+1/3²)]＝3√(1+1/3²)≒3(1+0.5/3²)＝3+0.5/3=3.166... (3.16まで合っている) √15＝√(16-1)＝√[4²(1-1/4²)]＝4√(1-1/4²)≒4(1-0.5/4²)＝4-0.5/4=3.875 (3.87まで合っている)これで計算すれば小数化しなくても √10+√15≒7+0.5(1/3-1/4)＞7と分かる．関数的視点をもつことも大事．y＝√xのグラフは上に凸で，xが大きくなるほど増加するが，その増加率は下がっていく．つまり0＜b＜a のとき，aで1増えたときのルートの増加量はbで1増えたときのルートの増加量よりも大きい．式で書けば √(a+1)－√a＞ √(b+1)－√b(＞0) ． 逆数をとってみればすぐ分かる．同じ１だけの差でも小さい方が増加率が高いということはグラフを見て直観的に分かると思う．つまり，15から見た16より9から見た10の方が増加が大きい．式で書けば √10－√9＞√16－√15 移項して書き直せば √10+√15＞√9＋√16＝7.
こんなん試験中に思いつかんよ…
答えを出すだけでいいなら√9(=3)と√10の差が√15と√16(=4)の差よりも大きいのはy=√xの関数の見た目からわかるから(正確には微分しないと行けませんが)、(√15-4)+(√10-3)>0より、√15+√10>78未満なのは簡単にわかるからこれで7と出せますね
√16-√15と√10-√9はどっちも差が１なら数字が小さい方の組み合わせの差の方が数がデカいから7超えてるってのでいいと思う（4よりちょい小さい）+（3よりちょいデカい）のちょいの部分が3の方がデカいから具体的な数値はわからんけど7はある
y = √xのグラフが描けて、(4 - √15) < (√10-3)だと直観的に分かる生徒であれば秒で解けそう
記述式だとしても、近似値を使ったやり方は、使用する数が実際の数より小さいことを明記した上で7より大きくなることを示せれば減点の対象にはなりませんね。
渋幕も同じタイプ出してましたね。向こうの方がちょっと計算めんどくさかった気もしますが
まだ問題みていないんですよね。。。
√15 + √10=√( 25 + 2 √150 )=√( 25 + √600 )24^2 = 576 < 600 < 25^2 = 625より24 < √600 < 25√49 = 7 < √15 + √10 =√( 25 + √600 ) < √50 < √64 = 8
内部は中学４年生で脳みそアハアハに成ってるが、新高組は受験したてでみんな勉強習慣出来てるから立派に見える。あと中学共学だった奴が少し（結構）羨ましい。
真面目に解いてみました。√15+√10=√5(√3+√2)√2>1.41... √3>1.73... √5>2.23... √15+√10>2.23×(1.73+1.41)=2.23×3.14=7.0022>7 一方√15+√10
スッキリしていますな！ 80GG🙂↕️
後者でも「≒」ではなく「＞」で進めれば記述問題でも減点されないかと。8以上ではないことは別途必要(1.42＞√2＞1.414とかでも行けそうかな)。
難しかったです泣。解説を２回聞いて少し理解が進みました。いつもありがとうございます。精進します泣。
√xのグラフが上に凸なので、傾きが小さくなっていくことをおもえば、√15+√10＞√16+√9=7 ですね
6 < √15 + √10 < 8 は灘受験生なら当然わかるとして、7より上か下かが論点となりますね。√10 = 3 + a, √15 = 4 - b, a > 0, b > 0とおけるので、まず1 - (a + b) = √15 - √10 > 0からa + b < 1 とわかり、またルートをそれぞれ2乗して引いた-7 + 2(a + b) + (a^2 - b^2) = -5これを整理すると(a + b)(2 + a - b) = 2 となり、0 < a + b < 1 から2 + a - b = 2/(a + b) > 2 より a - b > 0 とわかり√15 + √10 = 7 + a - b > 7 と導けたら嬉しいですが、誘導がないと難しそうです。
16に対する1より、9に対する1の方が比重が大きいので、プラスマイナスが相殺されずプラス部分が残るなので、3+3+1=7と、見た瞬間答えが出る
中3にこれを解かせるとは流石灘やな
2√15√10 = 10√6 ですから、二夜シクシク（煮よヨクヨク）を10倍して約24.4949 に持ってゆくのでしょうね。
つい最近、平方根を学習した新中3でも理解ができた！非常に分かりやすい動画であるね。解説者さん、Thanks！！
次回の問題高校生みたいに判別式D=0で解こうとするとaに関する４次方程式が出てきます😇
出た❗それで解いた。
明らかに因数分解してください。と言わんばかりの問題でしたね。
2√150>2√144=24のが楽でしょう
ルート15は4にわすがに足らない、ルート10は3に少し足す。「少し足す」から、「わずか足らない」を引いた時にプラスになれば7。平方根の整数は1，4、9、16と間隔が広がっていくので、その間は小数点が段々小さくなると判断できる。よってルート9の隣よりルート16の隣が小さいと判断できる。よって7。
6か7かの議論をしようってなるはずだから、2乗して25+10√6で24^2=576から行くのが、自然かなって思いました。（視聴前に書いたけど、解説もそうだった）高校入試で答えだけならルートの増え方的になんとなくでもいいし、25+10√6で√6＞1.41*1.73で考えてもいい。
√10≒3.1622…(ひとまる(10)は(＝)みいろ(3.16)に並ぶ(22))という語呂合わせを知っていたので楽をしたかったけど、素直に2乗するのが一番楽だった(ﾟｰﾟ;A
2つの無理数に対し不等式を使って解こうとすると、微妙な部分が出てくるので、2乗から導くんだろうな、と。
大学によっては，大学入試でも出題されそう．
日東駒専・産近甲龍未満の大学の受験生だと解けなさそう。
ルートが一つなら正確な不等式評価ができるから二乗してやろうって感じやね
累乗してからけいさんするのはわかるんだけど、√６００が２４と２５の間だとぱっと出てこないあたり自分の頭の限界を感じますｗ３０の累乗は９００ ２０の累乗は４００その間かなとは想像できるけど２４と２５の間だとはでてこない計算能力が足りないとこういうので理解が阻害されるんですなｗ
3:23 ルート150と12の大小が分かればいいんじゃないの？
√15と√10にそれぞれ20かけて77-78, 63-64の範囲が出るので与式x20は140-142の範囲で、20で割ると7-7.1の範囲が出てきた（ごり押し）これ以上にゴリラなやついる？ｗｗｗ
良問ですね？ふつうは裏紙に殴り書きで答えを出すのですが、すぐに答えを出すことができなかったので、問題をクリップボードにコピーして、印刷した用紙に記入しながら、答えを出しました。
15と10のルートはそれぞれ、4に近い、3に近いと考えて、おそらく繰り上がりが発生して7だろうと最初に推測するのがポイントでしょうね。最初の問題で、答だけなら。
因数分解すると√5×(√2+√3)だから当たりを付けるために2.23×(1.41+1.73)=7.0022だったから良しとしてしまった😂
まぁそこまで難しくはないけど、これが一問目なのはすごいな…。
中附、落ちてしまいました😢数学で箱ひげ図や、二次関数を比で求めるもので、過去問に出たことない単元のものがたくさん出てきました💦やれることはやったので後悔はないのです！
お疲れさまです!箱ひげ図などは高校で習う内容だから予習復習が大事っす
偶々みました。小数点第2位まで取って計算すれば、第一位が繰り上がりるかどうかの保証ができると考えて、愚直に計算したオジサンです（＾＾； この誤差の考えは正しいでしょうか？
近似値をつかっても、範囲（少なくともOOよりは大きい）を明示すれば原点対象にならないのではないでしょうか？
答えだけでいいっていうのがこの問題のキモだと思います。ルート16-ルート15と、ルート10-ルート9なら前者の方が明らかに小さい。こう考えないと、ルート48+ルート50の整数部分は？みたいな問題をすぐ計算できないですね
開平しました。それで終わってしまうので、他の解き方考えてみた。連分数で簡単に下から評価できました〜😊√10も√15も3より大4より小は既に示されているとして、結果を逆に辿って答案にします。唐突だけど13690=10×37^2>13689=117^2⇄ 37(√10)>117⇄ √10>117/37=3.162...735=15×7^2>729=27^2⇄ 7(√15)>27⇄ √15>27/7=3.857...これで√10+√15が7より大と言えますね〜。それからもう一つ。解析的に。整数での評価ができれば良いわけだから、x=(√10)+(√15)を解にもつ4次方程式x^4-50x^2+25=0をつくって、f(x)=x^4-50x^2+25の増減、実数解の個数とf(7)=-24
開平使いましたてダメなんかな？
@@randomokeke さん答案に書くの、難しそうですよね…😓
@@みふゆもあこの問題は回答のみ
逆有理化してみました😊
√の性質を理解してればもっと簡単に出ますね
学校で教えない以上開平で一発、もとい二発とはいきませんからねぇ...(今だと珠算有段者でもできない人が居るかもしれない）
平均変化率から、ルート曲線の直線性から√10も√15も平方数から考えれば16－9で約1/7各々だけど、数値が低い方が変化率は大きい。だから概算でやるのなら、3＋αと4－βの合計の7＋α－βを考えて、α>βから7より大きいと概算は可能かと思います。まあ平均変化率とか、二次曲線の頂点から外れたら直線性が強くなるとか、理解しておかないと駄目で、ほぼ微分の理解（グラフが解れば解らなくは無いですけど）が必要になりますけど、解き方の一つと言うか概算としてはと思いました。
この問題は√10+√15が7を超えるか超えないかなので、√10は3より大きいくなる小数Aと√15は4より小さくなる小数Bの足し算を行う。つまり（3+A）+（4－B）＝7+（A-B）とする。ルートの中の数字が1増えるごとの平方根の増加幅は絶対に減少していくので、√10－√9（A）のほうが√16-√15（B）より絶対に大きい。その結果7に正の小数を足すことになるので７より大きくなる。よって整数部分は7となると導きましたが、例えば大学入試の記述式の場合、これでは満点もらえない可能性があるのでしょうか。
f(x)＝√x-√(x-1)についてx＞1で単調減少であることを示せばよいかと
考えた問題製作者絶頂してそう
これ灘だし答えだけかな？それなら最悪6か7のヤマカンでどっちか入れるか。でもさすがに灘受験生なら落とせないな、この問題は。
次の設問で小数部分使うから、これ間違えると２問バツ。
@@BLACKXXXXXXXX さすが灘ですね。抜かりない。
次の設問で14√10など、明らかに調整して作成しているな。と感じられる部分があったのでここで間違えていても違和感を覚えて訂正できると思います。私は本番といてるとき、明らか調整しているのに気づいて安心して回答できました😊
なるほど〜
灘は面白いな
るーとXのグラフ想像すればいけそう
オンライン数学塾をやっています。学校の補習から受験指導まで責任を持って指導します。進学塾に通っていても成績が伸びない方、志望校対策をしたい方、学校の成績を伸ばしたい方、先取り学習をす進めていきたい方がオススメです。
過去には、進学塾（早稲田アカデミー、Z会進学教室、Z会東大進学教室いずれもトップクラス担当）や学校での指導経験（教員免許持ち）があります。気になる方はこちらをクリックしてください。無料体験、無料カウンセリングやってます。
sites.google.com/view/kawabatateppei
6:19 小数近似する方法の場合、"途中で桁を打ち切っている（=真の値よりも小さく見積もっている）"というのをわかった上でやる必要がありますね。この問題は結果的に近似値が7を超えたので問題になってませんが、もしこの近似計算の結果が6.99...みたいになったときにそれをみて答えが6だ！って飛びつくと実は間違ってましたなんてこともあり得ます。それでもう一桁増やして再計算…とかやるリスク背負うくらいなら、個人的には+30秒かかってもいいので二乗したうえで24
とても難しく感じましたが、先生のご説明で理解できました。
今日もありがとうございました。
3
これが一番スッキリしますね
動画のやり方が1番だろ笑
灘と言えば未来のラマヌジャンでも探してるのかってくらい計算ゴリッゴリな入試というイメージなので初めから小数第2位まで近似してみたらかなりギリッギリの値が出て戦慄した
選抜を目的に問題作ってない可能性
中学は全くそんな事ないんだがな
その代わり閃かなきゃ即死みたいなの多いけど
そうですね。
我校の先生を言っていましたが良問ができたと私達にほざいていたのを思い出します（笑）
by灘高80回生
@@kuq-f1dさん
灘高等学校の数学の入試問題は骨のある良問ですね
大学的にはルートxは凹関数なので16から1減るより、9から1増えるのが勝ちます。グラフを書いてすぐわかれば賢い。
この発想をできる子を採りたい。
こういう感覚を見る問題でしょうね！
なるほど、グラフでは、ｙの方から見て、1，2，3，4，・・・と、1ずつ増えるのに対して、対応するXは、1，4，9，16というふうに幅が広がっていくから、傾きがなだらかになっていく。ということは、ｘが1だけ動いた時のｙの変化量が少なくなっていくから、このての場合の差は常にプラスになる。よって、3＋4＋正の数、というわけですね。と、少し頭の良い中学生なら理解できそうです。
凹関数ではなく凸関数ですね
これを数学的に記述できんのかな
この問題絶妙すぎます。
近似値でやったら少数点1桁だと6、2桁だと7になります。
さすが灘高校と言わざる得ません。
灘高受けるような人らはこの辺想定済みなんだろうな
近似でやるより2乗で挟む方が確実だし速いです
灘の過去問をちゃんと解いている人は、こういう類の問題を近似で解くことが面倒くさくて裏切られがちなのをよく理解しています
与式をa,b=√15-√10とするとa^2+b^2=50。bは1以下なのでa^2>49で評価できますね。大学受験で見かけるパターンですが・・・
微妙なところを突いてくるのがイヤラシイですがこれでも灘的には易問なんでしょうね
比較的簡単。
灘の問題の中でも最易レベルの問題だと思います。
易しい
灘の酒
飲みたい‼️@@user-godofworld
近似値でアタリをつける方法で危ないのは、動画通り小数点以下２位まで計算すれば7を超えるが、手抜きして小数点以下１位で計算すると７に届かない点。高校入試でそんなピンポイントで手を抜くやつはいないだろうけども……
電卓でやったら7.03526だったので危ういね
前半の方法で解きました。
もし自分が現役中学生で答えだけを求めるので良ければ後半の方法で解いてたかなと思います。
答えを出すだけなら、y=x^2のグラフを描けば、xがおおきいほどyとy+1の範囲におけるxの値の範囲が小さくなるのが分かるので、それでいける。
本番で精密じゃないグラフ描いて「こっちの方が大きい気がする」で答えを出すだけの人は求めてないんじゃないかなぁ、それじゃいけないよ
@@もんちゃん-d3vいいえ
動画前半通り2乗で考えました。
3
丁寧に整数部分をaと置いてa≦√15+√10
だいたい、7.前後で
√15+√10>7が正しいかを検証する。
式変形して
√10-√9>√16-√15の
検証と同じ。
√xはxの増加とともに
増大幅が減少するのは
明らかなので、
√10-√9>√16-√15は
成立する。
よって
√15+√10>7は成立して、
答えは7。
無理関数(二次関数の逆関数)の形を知っていたので(実質)同じ解法を思いつきました。
多分作問者の発想もそこから来てるのかと。
さすが灘高校ですね。面白いっていうか、少し毛色の変わった問題です。でも難しいです、あとの解き方しか分からなかったです。
渋幕でも出てるけどなw
2乗すればルート部分が1つになるのがポイントです。慣れれば見た瞬間2乗したくなる。
答え出すだけなら、
y=√xが単調増加で、xの値を大きくすれば傾きが緩やかになるってこと理解して、
√15と4(=√16)の差の大きさをaとでも置いてやれば、
aと同様にbを用意して√10=3+a+bと理解できるから、
√15=4-aと足してやって、和が7+bで一瞬でわかるね
解説ありがとうございました。
「なあ～んだ・こうやるのか～」という感じでした、感謝です。🎶
これが1問目か！
しびれるぜ
2乗を評価してあげたくなる問題ですね
√15+√10=7+aとおいて平方し、近似的に2次の項を消すと 25+10√6=49+14a となり 整理すると 14a = 10√6 - 24 =2 √6 (5- 2 √6 )となるので
この右辺の( )内の符号を調べれば良い。すると これが正とわかるので7より大きい
まず前提として、①√xと√(x+1)の差は、xが大きいほど小さくなる
さらに√10, √15 ともに整数部分3の小数で、その和の整数部分は6または7のいずれか
ここで √10 - √9 = a, √16 - √15 = bと置くと、①より a > b なので √10 + √15 = √9 + √16 + a - b = 7 + a - b > 7
よって整数部分は7
追記：出題される√の値によっては使えない方法ですが、高校入試ということ、あえて10と15という値を選んでいることを考えると、出題者自信が「これに気付けばほぼ一瞬で解答できるんだけど、気づいてくれるかな～」という思いで作問している気がしますね。
座標平面のy=√xのグラフを考えて、➚➙みたいなグラフになるから、√15よりも√10のが0に近くて増加量も多いから、感覚的に|3-√10| > |4-√15|になって、√10-3 > 4-√15、√10+√15>7が導けました
私も同じ方法。出題者はこの解法が一番のお気に入りじゃないですか？数式でなく直観力で解く。
近似値（≒）として扱うのではなく「より大きい（＞）」として扱うのであれば小数点以下2桁まで計算すれば間違いなく７より大きくなる（整数部は７）と言い切れるのではないですかね？
今年灘高受験したものです。6か7かで迷い脳死で計算したら7になりました。今思うと普通に二乗すれば良いのに入試では出来ないのが怖いですね。
高校生になっても灘高等学校の入試問題は為になりますし、高等学校数学の知識にもなりますので勉強になります
√6の値を計算するのに√2×√3を実行する
この時1.4×1.7だと2.38になり、1.41×1.73だと2.4393になる。
√10+√15を二乗すると25+10√6になるけどこれが49を超えるか超えないかは省略の仕方で変わってくるのがいやらしい。
やはり出題者の意図は√9〜√10と√15〜√16の間隔が狭くなってゆくのを直感出来る頭脳が欲しい、ということかもしれませんね。
与式を二乗して...しかないとは思うけど、二乗してもルートの中が、でなんともいえない問題ですねぇ。
指導要領の範囲の中で、灘の受験生を差別化するための問題を作らなければいけない灘の先生方のご苦労が。
以下、余談
私の元上司が一部の問題を作った採用試験に合格して就職できた私なのですが、その上司が作った問題、作るように依頼した側から、｢あまりに正答率が低く、合否にまったく影響しなかったと思える(ほとんどの受験生が間違ったので、100点満点の試験が実質95点満点の試験になっちゃった)、こんな問題は今後、作らないで下さい｣とあとで言われたとか。
中学生の感覚では後者になるのかなと思います。とても分かりやすい解説でした
√3+√2がπにこんなに近いとは知りませんでした。√10をおおよそπとして扱うのはやった。
それは聞いたことがなかったです。みいろににななむと覚えていました。
後半のやり方でした。
4よより少し小さい数と、3より少し大きい数の足し算
4より少し小さい部分をaとして3より少し大きい部分をbとすると、明らかにb>－aなので整数の部分は7になる
これは端数の数値を具体的に出さなくてもわかるので、すぐ解けると思いました
この問題、イヤらしいですね。ただこの問題に時間を割く理由に行かないと思いますので、二択になりますが。。
と言うのが普通の中学生の考えで、灘高校受ける人は余裕なんでしょうね。面白い問題でした😂
答えが6か7のどちらか、、、まではすぐわかるんだけど、近似値で計算しても微妙だし、、、こういう問題作りだす灘の先生ってすごいね！
受験生は大変だけど、個人的にはこういう問題大好きです
√3＝人並みにおごれや
√5＝富士山麓にオウムなく🦜
√10＝ひとまるは三色（みいろ）に並ぶ
あとは手首の運動
アフォの解き方です。
黒板消しを使ってる！（斬新w）
4-√15と√10-3の大小関係はy=√xのグラフから明らかだけど、示すのは意外と難しいですね。√(a+1)-√aと√a-√(a-1)の大小関係は直接は面倒だけど、2aと√(a+1)＋√(a-1)の大小関係で両辺自乗でわかることから導き出せるので、あとはドミノ倒しで…うーん、中学範囲というのは厳しいな…
ホントにいい問題出すなぁ。
数直線上に
√9 √10 √11 √12 √13 √14 √15 √16
と並べると、
『間隔はだんだん広がっていく』のか
『間隔はだんだん狭くなっていく』のか
(√4-√1と√104-√101を思い浮かべると)
狭くなっていくので
√9と√10の差をa
√15と√16の差をb
とするとa>b
よって√10+√15=√9+√16+a-b
これは7より大きい数になる。
ぱっと見で解法浮かばなかったら保留
2乗するやり方は他の問題解いてる最中に思い浮かぶと思う。
√9〜√10より√15〜√16のほうが間隔が短いので、
√10の3からはみ出した部分より
√15が4に足りてない部分の方が小さいので足したら7をはみ出す
高校数学になっちゃうけど、y=√xのグラフが上に凸であることを用いると、感覚的に7を超えることは分かるかな。
待ってた！
こちらの動画は、なぜか楽しいです。この問題なんて、数学好きな人には、わくわくするんじゃないかと思いました。数学オンチの私でも、こちらの動画が、実に楽しく感じます。まさに数楽ですね。
49から25引いて2で割って12にして、150が12の2乗より大きいという確認作業が入る解き方の方が明確だと思う
次回は係数比較とかが使えますかね？手をつけていないのでパッと浮かびませんが...
y=√xのグラフを描いてだんだん傾きが小さくなることが分かれば、3と√10の差のほうが大きそうと判断できるけど、高校範囲ですね
2乗するところまでは思い付きましたが2×√10×√15のところで次どうするか詰まってしまいました。もう一回範囲推定すればよかったのですね
近似値でも不等号にすれば正解になるのではないでしょうか。√2＞1.413、√3＞1.731、√5＞2.235として計算しても7を越えますので。
いい問題だなぁ
入試とかでこんなの出たら、３.いくつ、3.いくつ、６か７なので
きっとこっちだろうってとりあえず書いて、時間が余ったら
それが正解かを確認するとか、当時の私ならしそうだな
6か7ってわかるなら7を愚直に√5で割るのが早いと判断
2.23で割ると√2+√3より小さくなるんで7以上とわかる
掛け算にすると3桁の掛け算要求されるのは面倒ですね
√5でくくってから2乗する
5(3+2√6+2)=25+10√6
さらに24
確かに答えだけでいいのなら、2.236×3.14でいけますねꉂ🤣𐤔
数学って面白くて、大体の感覚で整数間をルートは等分してくれんのよ。
1、1.4、1.7、2
2、2.2、2.4、2.6、2.8、3って感じ。
3と4の間も0.15くらいで7等分されるんやけど、3と√10の差は√15と4の差より大きいんだな。
グラフ的にもそうやし、現に√2と√3もそう。
この感覚は大事。
√10くらいまでは理系なら覚えておいてほしいな √10＝3.1622 (色は三色(みいろ)に並ぶ)
√15(=3.8729...)は動画と同じように√3x√5＝1.732...x2.236...で.
ちょっと高級になるけど灘高受けるくらいの受験生なら ルートの近似式 √(1±x)≒1±x/2 (x: 小) も知っておくと便利．両辺2乗して比較してみれば近いことが分かる．
使い方は √10＝√(9+1)＝√[3²(1+1/3²)]＝3√(1+1/3²)≒3(1+0.5/3²)＝3+0.5/3=3.166... (3.16まで合っている)
√15＝√(16-1)＝√[4²(1-1/4²)]＝4√(1-1/4²)≒4(1-0.5/4²)＝4-0.5/4=3.875 (3.87まで合っている)
これで計算すれば小数化しなくても √10+√15≒7+0.5(1/3-1/4)＞7と分かる．
関数的視点をもつことも大事．
y＝√xのグラフは上に凸で，xが大きくなるほど増加するが，その増加率は下がっていく．
つまり0＜b＜a のとき，aで1増えたときのルートの増加量はbで1増えたときのルートの増加量よりも大きい．式で書けば √(a+1)－√a＞ √(b+1)－√b(＞0) ． 逆数をとってみればすぐ分かる．
同じ１だけの差でも小さい方が増加率が高いということはグラフを見て直観的に分かると思う．
つまり，15から見た16より9から見た10の方が増加が大きい．
式で書けば √10－√9＞√16－√15 移項して書き直せば √10+√15＞√9＋√16＝7.
こんなん試験中に思いつかんよ…
答えを出すだけでいいなら√9(=3)と√10の差が√15と√16(=4)の差よりも大きいのはy=√xの関数の見た目からわかるから(正確には微分しないと行けませんが)、(√15-4)+(√10-3)>0より、√15+√10>7
8未満なのは簡単にわかるからこれで7と出せますね
√16-√15と√10-√9はどっちも差が１なら数字が小さい方の組み合わせの差の方が数がデカいから7超えてるってのでいいと思う
（4よりちょい小さい）+（3よりちょいデカい）のちょいの部分が3の方がデカいから具体的な数値はわからんけど7はある
y = √xのグラフが描けて、(4 - √15) < (√10-3)だと直観的に分かる生徒であれば秒で解けそう
記述式だとしても、近似値を使ったやり方は、使用する数が実際の数より小さいことを明記した上で7より大きくなることを示せれば減点の対象にはなりませんね。
渋幕も同じタイプ出してましたね。向こうの方がちょっと計算めんどくさかった気もしますが
まだ問題みていないんですよね。。。
まだ問題みていないんですよね。。。
√15 + √10
=√( 25 + 2 √150 )
=√( 25 + √600 )
24^2 = 576 < 600 < 25^2 = 625より
24 < √600 < 25
√49 = 7 < √15 + √10 =√( 25 + √600 ) < √50 < √64 = 8
内部は中学４年生で脳みそアハアハに成ってるが、新高組は受験したてでみんな勉強習慣出来てるから立派に見える。あと中学共学だった奴が少し（結構）羨ましい。
真面目に解いてみました。
√15+√10=√5(√3+√2)
√2>1.41...
√3>1.73...
√5>2.23...
√15+√10>2.23×(1.73+1.41)=2.23×3.14=7.0022>7
一方
√15+√10
スッキリしていますな！ 80GG🙂↕️
後者でも「≒」ではなく「＞」で進めれば記述問題でも減点されないかと。8以上ではないことは別途必要(1.42＞√2＞1.414とかでも行けそうかな)。
難しかったです泣。解説を２回聞いて少し理解が進みました。いつもありがとうございます。精進します泣。
√xのグラフが上に凸なので、傾きが小さくなっていくことをおもえば、√15+√10＞√16+√9=7 ですね
6 < √15 + √10 < 8 は灘受験生なら当然わかるとして、7より上か下かが論点となりますね。
√10 = 3 + a, √15 = 4 - b, a > 0, b > 0とおけるので、
まず1 - (a + b) = √15 - √10 > 0から
a + b < 1 とわかり、
またルートをそれぞれ2乗して引いた
-7 + 2(a + b) + (a^2 - b^2) = -5
これを整理すると
(a + b)(2 + a - b) = 2 となり、
0 < a + b < 1 から2 + a - b = 2/(a + b) > 2 より a - b > 0 とわかり
√15 + √10 = 7 + a - b > 7 と導けたら嬉しいですが、誘導がないと難しそうです。
16に対する1より、9に対する1の方が比重が大きいので、プラスマイナスが相殺されずプラス部分が残る
なので、3+3+1=7と、見た瞬間答えが出る
中3にこれを解かせるとは流石灘やな
2√15√10 = 10√6 ですから、二夜シクシク（煮よヨクヨク）を10倍して約24.4949 に持ってゆくのでしょうね。
つい最近、平方根を学習した新中3でも理解ができた！非常に分かりやすい動画であるね。解説者さん、Thanks！！
次回の問題
高校生みたいに判別式D=0で解こうとするとaに関する４次方程式が出てきます😇
出た❗それで解いた。
明らかに因数分解してください。と言わんばかりの問題でしたね。
2√150>2√144=24のが楽でしょう
ルート15は4にわすがに足らない、ルート10は3に少し足す。「少し足す」から、「わずか足らない」を引いた時にプラスになれば7。平方根の整数は1，4、9、16と間隔が広がっていくので、その間は小数点が段々小さくなると判断できる。よってルート9の隣よりルート16の隣が小さいと判断できる。よって7。
6か7かの議論をしようってなるはずだから、2乗して25+10√6で24^2=576から行くのが、自然かなって思いました。（視聴前に書いたけど、解説もそうだった）
高校入試で答えだけならルートの増え方的になんとなくでもいいし、25+10√6で√6＞1.41*1.73で考えてもいい。
√10≒3.1622…(ひとまる(10)は(＝)みいろ(3.16)に並ぶ(22))という語呂合わせを知っていたので楽をしたかったけど、素直に2乗するのが一番楽だった(ﾟｰﾟ;A
2つの無理数に対し
不等式を使って解こうと
すると、微妙な部分が出
てくるので、2乗から導く
んだろうな、と。
大学によっては，大学入試でも出題されそう．
日東駒専・産近甲龍未満の大学の受験生だと解けなさそう。
ルートが一つなら正確な不等式評価ができるから二乗してやろうって感じやね
累乗してからけいさんするのはわかるんだけど、√６００が２４と２５の間だとぱっと出てこないあたり自分の頭の限界を感じますｗ
３０の累乗は９００ ２０の累乗は４００その間かなとは想像できるけど
２４と２５の間だとはでてこない
計算能力が足りないとこういうので理解が阻害されるんですなｗ
3:23
ルート150と12の大小が分かればいいんじゃないの？
√15と√10にそれぞれ20かけて77-78, 63-64の範囲が出るので与式x20は140-142の範囲で、20で割ると7-7.1の範囲が出てきた（ごり押し）
これ以上にゴリラなやついる？ｗｗｗ
良問ですね？ふつうは裏紙に殴り書きで答えを出すのですが、すぐに答えを出すことができなかったので、問題をクリップボードにコピーして、印刷した用紙に記入しながら、答えを出しました。
15と10のルートはそれぞれ、4に近い、3に近いと考えて、おそらく繰り上がりが発生して7だろうと最初に推測するのがポイントでしょうね。最初の問題で、答だけなら。
因数分解すると√5×(√2+√3)だから当たりを付けるために2.23×(1.41+1.73)=7.0022だったから良しとしてしまった😂
まぁそこまで難しくはないけど、これが一問目なのはすごいな…。
中附、落ちてしまいました😢
数学で箱ひげ図や、二次関数を比で求めるもので、過去問に出たことない単元のものがたくさん出てきました💦
やれることはやったので後悔はないのです！
お疲れさまです!
箱ひげ図などは高校で習う内容だから予習復習が大事っす
偶々みました。小数点第2位まで取って計算すれば、第一位が繰り上がりるかどうかの保証ができると考えて、愚直に計算したオジサンです（＾＾； この誤差の考えは正しいでしょうか？
近似値をつかっても、範囲（少なくともOOよりは大きい）を明示すれば原点対象にならないのではないでしょうか？
答えだけでいいっていうのがこの問題のキモだと思います。ルート16-ルート15と、ルート10-ルート9なら前者の方が明らかに小さい。
こう考えないと、ルート48+ルート50の整数部分は？みたいな問題をすぐ計算できないですね
開平しました。
それで終わってしまうので、他の解き方考えてみた。
連分数で簡単に下から評価できました〜😊
√10も√15も3より大4より小は既に示されているとして、結果を逆に辿って答案にします。
唐突だけど
13690=10×37^2>13689=117^2
⇄ 37(√10)>117
⇄ √10>117/37=3.162...
735=15×7^2>729=27^2
⇄ 7(√15)>27
⇄ √15>27/7=3.857...
これで√10+√15が7より大と言えますね〜。
それからもう一つ。解析的に。
整数での評価ができれば良いわけだから、
x=(√10)+(√15)を解にもつ4次方程式
x^4-50x^2+25=0をつくって、
f(x)=x^4-50x^2+25の増減、実数解の個数とf(7)=-24
開平使いましたてダメなんかな？
@@randomokeke さん
答案に書くの、難しそうですよね…😓
@@みふゆもあこの問題は回答のみ
逆有理化してみました😊
√の性質を理解してればもっと簡単に出ますね
学校で教えない以上開平で一発、もとい二発とはいきませんからねぇ...
(今だと珠算有段者でもできない人が居るかもしれない）
平均変化率から、ルート曲線の直線性から√10も√15も平方数から考えれば16－9で約1/7各々だけど、数値が低い方が変化率は大きい。
だから概算でやるのなら、3＋αと4－βの合計の7＋α－βを考えて、α>βから7より大きいと概算は可能かと思います。
まあ平均変化率とか、二次曲線の頂点から外れたら直線性が強くなるとか、理解しておかないと駄目で、ほぼ微分の理解（グラフが解れば解らなくは無いですけど）が必要になりますけど、解き方の一つと言うか概算としてはと思いました。
この問題は√10+√15が7を超えるか超えないかなので、√10は3より大きいくなる小数Aと√15は4より小さくなる小数Bの足し算を行う。
つまり（3+A）+（4－B）＝7+（A-B）とする。ルートの中の数字が1増えるごとの平方根の増加幅は絶対に減少していくので、√10－√9（A）のほうが√16-√15（B）より絶対に大きい。その結果7に正の小数を足すことになるので７より大きくなる。よって整数部分は7となると導きましたが、例えば大学入試の記述式の場合、これでは満点もらえない可能性があるのでしょうか。
f(x)＝√x-√(x-1)についてx＞1で単調減少であることを示せばよいかと
考えた問題製作者絶頂してそう
これ灘だし答えだけかな？それなら最悪6か7のヤマカンでどっちか入れるか。でもさすがに灘受験生なら落とせないな、この問題は。
次の設問で小数部分使うから、これ間違えると２問バツ。
@@BLACKXXXXXXXX さすが灘ですね。抜かりない。
次の設問で14√10など、明らかに調整して作成しているな。と感じられる部分があったのでここで間違えていても違和感を覚えて訂正できると思います。
私は本番といてるとき、明らか調整しているのに気づいて安心して回答できました😊
なるほど〜
灘は面白いな
るーとXのグラフ想像すればいけそう